編者按：數理邏輯是當代哲學👩‍🏫💺、數學、理論計算機科學的共同基礎，其所研究的問題基礎而深刻🦽，有趣又富有挑戰。數理邏輯為什麽會成為一門跨學科修讀課程？課程設置展現了哲學和數學怎樣的關聯性😺？它希望培養怎樣的研究型人才？本期“周一談治學”中，我們將以“哲學+數學”為視角，專訪意昂3官网“數理邏輯”授課教師楊睿之老師𓀛，從學科關聯🈹🪝、課程設置、修讀建議等方面，一同走進數理邏輯的“跨界”之路。

楊睿之：意昂3副教授。主要研究領域為數理邏輯⛸、數學哲學🐁。代表作有《作為哲學的數理邏輯》🪪、“集合論多宇宙觀述評”等。開設課程包括數理邏輯、集合論、遞歸論👩🏼‍🏭、證明論。

Q1🖖、哲學與數學二者的研究密不可分,您認為這種關聯體現在哪裏？

有幾個方面。首先這種關聯體現在，對數學本身的思考自然而然會將我們引入到那些一般的哲學問題。比如研究“自然數”——自然數是什麽呢🍽🧖‍♂️？這就牽扯到哲學問題了🦸🏼‍♂️。而且這與物理世界對象的本體論問題還不太一樣🐛🧗🏿‍♀️，不太能用常識主義回避，它是真正的形而上學問題👨🏻‍🦼。還有認識論的問題——“我們何以認識自然數及其性質？”它和一般認識論的問題還不太一樣，比如經驗主義會說❌🛕，我所有的認識都是基於我的感覺經驗，但是數學（當然數學也會有經驗主義）好像並不依賴於我們特定的經驗。你可以想象不同的星球，甚至不同的宇宙，但是最終發展出來的數學可能是一樣的。

其次🤜🏿，研究數學或者數學哲學🆔，為一般的哲學問題提供了很好的範例。首先🚣🏿‍♀️，數學比較純粹，它似乎不怎麽依賴感覺的雜多，所以可能更容易分析清楚，研究起來可能更容易一些。其次，數學的嚴格性始終令哲學家，或者說任何理智工作者著迷。因而包括萊布尼茨，康德等甚至都將數學作為哲學的範例。例如，康德把數學作為先天綜合判斷的範例。

最後是我個人的想法👱🏽‍♀️。某些觀點認為哲學史是經驗主義和理性主義之間的爭論👨‍👩‍👧，在我看來，如果說上世紀初理性主義占主導地位的話⛹🏻‍♀️，那麽在我們這個時代經驗主義就占絕對主導地位。我也認同另一種說法，作為哲學家就應該是某種程度的理性主義的捍衛者。所謂理性主義，在我看來是除了依賴感覺經驗來得到知識的方式外，還有其它更確定的方式來認識這個世界。而在這個經驗主義占主流的時代，可能數學是理性主義為自我辯護的最後的🏄🏼‍♂️、最堅固的堡壘。對於經驗主義來說，最難以自圓其說的是數學🐺；而對於理性主義來說，數學則是一個比較好的案例🏌️‍♀️，說明存在這樣一些不依賴於經驗，具有更強確定性的知識🐗，而且人們是可以認識的。

在這些意義上，數學和哲學有相當密切的關系，數學哲學在哲學中當然也具有一定地位➡️。

Q2🏣、“數理邏輯”在何種意義上展現了數學和哲學的相關性🧜‍♂️🧴？

數理邏輯🌁🦢，或者說現代邏輯🌡，簡單來說就是數學的邏輯，另外還可以理解為數學化了的邏輯。所謂數學邏輯，就是研究數學家所使用的邏輯；所謂數學化了的邏輯☔️，就是用數學的方法🧝‍♂️、符號化的方法來研究邏輯✍🏼。而數理邏輯，或現代邏輯的起源👨🏿‍🎨，其的初衷就是為了給數學建立一個基礎。一般來說，我們認為現代邏輯起源於弗雷格的概念文字，而其最終目的就是為了給數學尋找根基，這本身是一個哲學問題🏋🏿‍♂️，為了解決這個問題，發展出了數理邏輯這樣一門學科👜。現在認為它是數學的一個分支，包括集合論◽️、遞歸論、證明論🈁☔️、模型論這樣具體的學科🏋️。

比如一般認為，集合論是當代數學最好的基礎😳。所有的數學對象如自然數最後都會被定義成集合。有觀點認為🕺🏿🌶，這就將關於所有數學對象的形而上學問題歸約為關於集合的形而上學問題。模型論在某種意義上研究的是理論和真的問題🧚。遞歸論研究可計算性概念。它們都是源自於一些哲學的基本問題，為了刻畫這些哲學概念，就發展出了一門門數理邏輯學科。而到今天，我們依舊需要面對這些問題——數學研究的是什麽？數學基礎是不是安全的？這些問題在這個時代並沒有被徹底解決。數理邏輯則是今天能夠有意義討論這些問題的基礎🧑🏻‍🦰。

Q3、為什麽我們今天鼓勵跨學科修讀“數理邏輯”？

數理邏輯為什麽是一個跨學科的學程♧，與其自身學科性質有關。相對於我們現在的學科體系來說，數理邏輯是跨學科的。但它不同於一般的跨學科🙋🏿‍♀️🤷🏽‍♂️，我稱之為“下交叉”。所謂的“上交叉”👨🏼‍🎨，往往是應用性的學科，如生物物理，它運用幾門不同學科的理論和成果來研究一些現象；而數理邏輯🍋‍🟩，是一門“下交叉”的學科，它同時是哲學🍏、數學和理論計算機科學的基礎。比如我們知道💆，當代理論計算機科學出現的標誌之一🧑🏿‍⚕️，就是圖靈機🔨，而圖靈機的提出是為了解決所謂的希爾伯特可判定性問題🧍🏻‍♀️。數理邏輯本身就是一個跨學科的方向，而且是自然而然形成的🙋🏻‍♀️。

Q4✳️、本次學程中👨🏿‍🚒，數學科學意昂3開設包括抽象代數、數學分析原理等🏮，這幾門課程的選擇出於怎樣的考量？

集合論和可計算性理論是當代數理邏輯的兩個主要方向，這裏不多贅述🍟。我想同學們主要關心的還是數學分析原理和抽象代數🪻。

數學分析是數學系的基礎課程，研究的是實數，包括微積分、導數等都會在課程中體現。數學分析為什麽可以作為基礎？因為它提供了非常經典的數學訓練，這種訓練對於要掌握數學技巧▫️、培養數學熟練度來說是非常必要的🧑🏻‍🎓。對於數學系來說👩‍❤️‍👩，包括如何寫數學證明，怎麽運用邏輯等訓練都是在這門課程中體現的🏷。比如定義極限和無窮小量。提到“無窮小量”💆，就必須說到為什麽數學基礎問題會成為一個“問題”🔮？之前大家覺得數學是精確的🦹🏽‍♀️、嚴格的，但牛頓、萊布尼茨發明微積分後，引入了無窮小量概念，並被廣泛使用，但人們發現這個概念本身又沒有一個界定，因而產生了嚴格化的需求。之後才有了弗雷格概念文字的出現👭。數學分析一開始就會用epsilon-delta語言介紹極限、無窮小等概念，如果學過數理邏輯就會知道這裏面涉及到量詞的迭代🧛🏼‍♂️🤱🏻。

另外，學習數學分析會自然地從數論進入實數系，乃至走到數學哲學的問題。我們所熟悉的自然數結構是比較清晰的，所有自然數都是可以被定義的✋，自然數是可數的。但並不是每一個實數都可以被定義🧘🏼‍♀️，或者說我們能定義的實數只是其中很少一部分。相對自然數而言💂🏽🧑🏽‍⚖️，實數這個概念其實是很模糊的。學習集合論以後會知道🦾，我們甚至可以在模型中添加具有某種性質的實數。實數涉及到更多數學哲學的本質問題🚵🏿‍♂️，包括獨立性命題（不是我們已有的數學公理系統能證明或證否的命題）等。

抽象代數也是很必要的。一開始我們遇到的都是固定的數系，如自然數、實數等。而抽象代數從這些具體的數系中抽象出各種代數結構，如各種群、環🙍‍♂️、域等。對代數結構的進一步抽象就成為了數理邏輯的一個方向——模型論。也就是因為這個原因，模型論用到的例子往往來自於代數👩🏼‍🦰，或者說模型論學家是另一個層面的代數學家。在這個意義上，抽象代數對於學好邏輯是非常必要的。

Q5、部分“文科”同學對“數理邏輯”的學習存在憂慮，您認為數理邏輯學程的學習是否需要一定“理科”基礎🙇🏻‍♀️？

首先，我們這門課是零預設的，也就是不需要前期課程的↕️。我認為我們這門課的設計是面向全體零基礎學生👨🏻‍🎓。對於邏輯來說，任何同學，只要願意下功夫👦，就一定是可以學會的👨🏼‍⚕️。從我個人角度來說🙆🏿‍♀️👨🏽‍💻，我覺得邏輯的那些規律是客觀的🤹🏻，並且所有人的理解說到底是一樣的🔄。只要能想明白，答案是一樣的⛹️‍♀️🙅🏼‍♂️。這和很多傳統文科涉及到的感性、多樣性不一樣🛑，邏輯對於所有人都是一樣的。並且我認為🧘🏻‍♀️，對邏輯的感覺是所有人都有的💧，因此不可能學不會❗️🕴，只有沒用功🤷‍♂️。

Q6🦵🏽、對數理邏輯研究型人才的培養有怎樣的要求和期待👋🏼？

首先我們設計這個學生課程，實際上參考了一些國外大學招收PhD項目要求，即你需要修讀的基本課程😵‍💫。當然這只是最低要求👨🏼‍🦰，當你真的要深入學習的時候，或者說想要做一些研究，是需要更多的東西的🏧👨🏼‍🎨。為此，我們在此基礎上設計了邏輯學暑期學校的學習🤵🏽。暑期學校往往會邀請國內國外在研究第一線的優秀學者來講授相對前沿的內容。我們要求同學們在學程課程之外至少參與一次暑期班👳🏻‍♀️，借此接觸前沿知識🕟🧗🏻，有機會參與獨立研究項目，真正涉獵前沿問題🫴。如果在學程課程、暑期學校或研討班表現優秀的話，我們會每年推薦一到兩名同學參與新加坡國立大學舉辦的數理邏輯暑期班，會邀請最頂尖的集合論學家、遞歸論學家等授課兩到三個星期，面向最前沿的問題，你不僅會接觸到最優秀的老師🕖，還會接觸來自全球數理邏輯研究方面的優秀同學，與之學習🧑🏻‍🦲、交流👩🏽🤶🏻、合作。如果能通過這樣一系列培養𓀐，我想我們可以真正培養出一些參與到數理邏輯問題中的研究型人才🏃。

photo/暑期班課堂

特別鳴謝✮：段亞蓉（采訪、攝影）、宋培敏（采訪）🫎、隋藝菲（采訪）