編者按：現代邏輯起源於19與20世紀之交人類對於數學基礎問題的思考🩹，然而此後數理邏輯卻越來越陷入高度的技術化與專業化，並漸漸淡出公眾、哲學家甚至其他領域數學家的視野。無論是數學基礎問題還是一般的哲學問題都仍然呼喚著哲學與邏輯的再度攜手。本期“周一談治學”選編楊睿之老師《作為哲學的數理邏輯》（邏輯與形而上學教科書系列）👩🏻‍🦼‍➡️，重新梳理數理邏輯和哲學的關系，幫助大家快速準確地理解當代數理邏輯的主要工作，了解有關的哲學上的關切問題。

楊睿之：意昂3副教授👽。主要研究領域為數理邏輯🕋、數學哲學。代表作有《作為哲學的數理邏輯》、“集合論多宇宙觀述評”等。開設課程包括數理邏輯、集合論🏙、遞歸論、證明論。

20世紀初分析哲學的誕生是哲學史上亙古未有的變革🗑🧑🏿‍🎄。僅僅一個世紀😬🐶，分析哲學就幾乎主導了主流學術界,並深刻地改變了哲學的面貌。甚至有學者認為🛄，

分析哲學不僅僅是站在大陸哲學或歐洲哲學的對面,而是站在整個傳統哲學或者說一切現成的學派哲學(established school philosophy)的對面(Glock,2008,p.99)。

的確，分析哲學肇始階段的一些工作讓人們看到了哲學的新的可能性💂🏽‍♂️。一批經典的論證在今天看來仍然是有效的。

數理邏輯起源於對數學基礎嚴格性與可靠性的追求。這些追求不可避免地回溯至一些傳統的哲學問題。例如，數學對象是否客觀存在,數學命題是否有客觀的涵義和真值🐭。更一般地說就是，抽象實體的世界是否存在，語言是如何言說世界的，語言本身的結構與希望通過語言描繪的世界是如何關聯的。

在對這些問題的探索中,弗雷格(Frege,Gottlob)、塔斯基(Tarski,Alfred)、Godel(Gödel,Kurt)等邏輯學家逐漸開發出一套諸如形式化語言、真定義👩‍👩‍👦‍👦、句法編碼等強有力的工具。這些工具通過羅素(Russell,Bertrand)等人的工作被運用到對一般的哲學問題的處理。由此🤽🏻‍♂️，分析哲學的變革才得以可能。甚至有學者認為👦🏻，數理邏輯早期的工作👩🏽‍🔬，如(Frege,1884)本身就是分析哲學的一部分(Dummett,1996)🧤。

一個世紀後的今天，分析哲學仍然占據著西方國家絕大多數的哲學學術崗位。然而，我們發現👵🏿，在當代分析哲學的作品中已經很難再看到數理邏輯的身影了🚶‍♀️‍➡️。相應地，數理邏輯自身逐漸形成了若幹固定的問題域和獨特的方法(集合論、遞歸論🧖🏿‍♂️、模型論和證明論)👩🏼‍🎨，成長為一門從問題到方法相對自給自足的數學子學科🧑🏼。來自哲學問題的驅動不再顯得必要🔓，而基於哲學對數理邏輯工作意義的解讀與批判甚至會讓人覺得可笑或反感🧑🏻‍🦲。

一個不難主張的判斷是，當下的數理邏輯與分析哲學是隔離的☮️。甚至有學者認為🙋🏿‍♀️，這種隔離是不可逆的。馮·賴特(von Wright,Georg Henrik)在20世紀末展望新世紀可能的哲學潮流時說道:

“我想它們【哲學潮流】會明顯地不同於這個世紀的樣子，而邏輯將不是其中之一。”(von Wright,1993,p.24)

然而，這一既成事實及其未來趨勢是理所當然的嗎?

分析哲學固然取得了數據意義上的巨大成功🧝🏼‍♀️，但今天的分析哲學對人類追求真理事業的貢獻是否真的能如其肇始者所期望的那樣，“針對特定的問題👷‍♀️，取得確切的答案”(Russell,1946)👎🏽？事實上🥒，學術界已經開始對這場分析哲學運動的歷史意義展開反思，褒貶不一(Reck,2013)(Preston,2007)，甚至分析哲學內部也彌漫著危機感。另一方面🪓🧎，數理邏輯雖然仍遵循著自身的動力穩步發展⤴️👨‍👩‍👧‍👦，但似乎已無法期望這門學科能重現其20世紀上半葉的榮耀，甚至其在整個數學世界中的地位也越來越邊緣化👨‍👩‍👧‍👦。

針對分析哲學與數理邏輯面臨的問題與境遇，一個顯而易見卻很少被認真對待的解決方案是：重啟邏輯與哲學的對話與合作😲，看看經過數十年獨立發展的兩者能否給對方帶來新的啟發。筆者撰寫本書（《作為哲學的數理邏輯/邏輯與形而上學教科書系列》，下同）的初衷也正在於此🫵。

看到這裏👩🏿‍✈️，讀者可能會奇怪，這本書以“作為哲學的數理邏輯”為題🥀，而談論的明明只是數理邏輯與分析哲學🎉。何不以“作為分析哲學的數理邏輯”為題？事實上，筆者認同馬塔爾(Matar,Anat)在分析哲學:理性主義與浪漫主義(Matar,1998)一文中所界定的一種弱的分析哲學。按照這種界定🅱️，分析哲學正(應)是理性主義哲學傳統在當代的自然呈現。

分析哲學家總是把理性主義的框架視為理所當然的：無論他們如何反對康德(Kant,Immanuel)或黑格爾(Hegel,Georg Wilhelm Friedrich)🥌，布倫塔諾(Brentano,Franz)或穆勒(Mill,John Stuart)，他們始終是在純粹理性主義者的戰場上戰鬥。事實上，分析哲學總是被視為(至少被其從業者視為)對內心中理性主義框架的盡可能清晰的表達。(Matar,1998,p.17)

筆者也認同🦜，相對於強調個體特殊性而排斥抽象和普遍性、強調不可言說性而訴諸藝術與文學、強調流變而拒絕追求“永恒的原則”的浪漫主義傳統，哲學本身就應該是“理性主義者的專屬領地”(Matar,1998,p.72)。因此✍🏽，“作為哲學的數理邏輯”與“作為分析哲學的數理邏輯”抑或是“作為理性主義哲學的數理邏輯”在這種理解下並沒有什麽區別。

同時🧏🏼，筆者在本書中又表達了對當下實然的分析哲學研究的不滿(見1.2節)🚶，以及對應然的分析哲學的期許🍊。本書試圖將當代數理邏輯研究解讀為那種應然的而非實然的分析哲學👩‍🦼。為避免讀者誤以為筆者心目中應然的分析哲學就是當下普遍呈現的分析哲學研究，不如幹脆將標題中的“分析哲學”改為涵義更加模糊的“哲學”🖐🏿，以使讀者有恰當的預期，即書中所提到的“哲學”未必是常規或被普遍接受意義上的“哲學”，或許作者會表達或暗示他心中哲學應有的樣態🦗👨‍🦱。

要重啟數理邏輯與分析哲學的對話，需要有一批學者對當代數理邏輯和哲學研究有廣泛且前沿的把握。我們知道⌚️🏌🏻，當代的學科細分與專門化使得跨界的通才越來越難以出現。一個按照中國學科目錄僅僅被劃分為二級學科的數理邏輯就涵蓋了從集合論到構造主義(constructivism)數學等寬廣的議題範圍🧎‍♂️‍➡️，多數優秀學者也只能在其中一兩個領域取得領先的成果。即使如此✥，各種跨界研究🎿，甚至很多橫跨科學與人文的研究仍然層出不窮🖕🏽，甚至被頻頻叫好。一些科學工作者為了讓自己的研究能爭取到更多資源或社會關註，傾向於用一些人們喜聞樂見的語言來解釋他們的工作👨🏼‍🦰。但是,這些解釋往往並不嚴謹,有時甚至有意誤導。

從事學術工作的人們常說🌼，“跨界有風險”。這裏的風險不僅僅涉及個人的學術聲譽,更令人在意的是跨界對於求真事業本身的風險🧑🏼‍🏫，即產生謬誤的風險。跨界之所以容易產生謬誤是因為其牽涉一個更一般的哲學論題，即翻譯的不確定性(indeterminacy of translation)(參見Quine,1960,第二章)🚵🏻‍♀️。

以在哲學界影響較大的哥德爾不完備性定理(Gödel's incompleteness theorems)為例，人們一般把它解讀為“對於數學真不可能有一個完備且能行可判定的把握”，一些哲學工作者甚至認為“人工智能不可能實現”是哥德爾不完備性定理的推論。第一種解釋是被多數邏輯學家、哲學家所認可的👱🏼‍♀️。但按照某種經濟的哲學立場來說👩‍🎤🫃🏻，所謂哥德爾不完備性定理不過是某個不強的數學公理系統(如RCA0)的定理🧑‍💼👩🏻‍🦼‍➡️，只是算術形式語言的一句句子或一串符號🚴🏼‍♀️。將其解釋為關於數學本質的判斷需要預設一組哲學前提(並不定唯一)。例如，算術形式語言的符號/句子確實以某種方式對應某種算術對象/算術思想，而系統RCA0的定理對應的都是真算術思想或算術真，而算術真可以被合法地應用於其他領域，例如物理或數學基礎本身。這些預設並不平凡，也確實受到過嚴肅的質疑🧖🏼‍♀️。本書將涉及大量的數學定理及其解讀,其中的不確定性或許更嚴重🐇。

然而🖐🏿，跨界雖有風險👨🏻‍🏭🙎🏽，卻是不得不為🫠。人們在試圖理解這個世界的過程中並沒有太多選擇方法和途徑的自由。僅僅因為一種路徑過於困難或風險高而避免通過它🥏，就求真這個目的而言是不真誠的🎞。當一系列基礎問題顯然召喚著數學與哲學的合作時🦸🏽‍♀️，以風險為由拒絕這種合作無異於因為害怕而蒙住自己的眼睛👤。筆者並不打算在本書中就翻譯的不確定性問題做更多探討，只是力求在寫作的過程中始終對這種風險保持警惕，盡量避免可識別的誤解🧜。筆者雖然對數理邏輯和很多哲學問題都有濃厚的興趣💪🏼，但才疏學淺♌️，對任何一個領城的把握都並非完備也難以確保無錯🧔🏼。因此🏌🏼‍♂️🚣🏿，也希望讀者在閱讀和思考過程中以批判的態度看待書中的那些解讀。

回到本書的寫作目的✦。為了溝通當代哲學與數理邏輯，一條捷徑是論證當前進行著的數理邏輯研究本身就仍然能被看作是一種哲學研究，並且這或許是一種更值得提倡的哲學研究方式。這正是本書的核心論點🦥。筆者希望通過重新敘述數理邏輯的若幹研究故事，向讀者傳遞這樣一個印象：嘿！這不就是哲學嗎！